Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足a=1，c=$\sqrt{3}$，f（C）=-1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積、兩角差的正弦函數(shù)運算化簡f（x），再由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由（I）化簡f（C）=-1，根據(jù)內(nèi)角的范圍求出角C，再由正弦定理求出角A，由內(nèi)角和定理求出角B，結(jié)合條件代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1=$2\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）得，
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）得f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）=-1，則sin（2C-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$-\frac{π}{6}＜$2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
則2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，解得C=$\frac{2π}{3}$，
∵a=1，c=$\sqrt{3}$，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，則sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{1}{2}$，
由C是鈍角得，A=$\frac{π}{6}$，則B=$\frac{π}{6}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理，向量的數(shù)量積，兩角差的正弦函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)等，考查化簡、計算能力，屬于中檔題．