Question

7．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-3，0）∪（0，3）

Answer 1

分析 構造函數(shù)h（x）=f（x）g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調性，進而即可得出不等式的解集．

解答 解：令h（x）=f（x）g（x），則h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)．
①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調遞增，
故函數(shù)h（x）在R上單調遞增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），
∴x＜-3．
②當x＞0時，函數(shù)h（x）在R上是奇函數(shù)，可知：h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集為（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調性與奇偶性，恰當構造函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的奇偶性單調性是解題的關鍵