Question

15．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的左右頂點分別為A₁，A₂，點P在雙曲線C上，且直線PA₁的斜率的取值范圍為[1，2]，那么直線PA₂的斜率的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$]
• D． （-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 求得雙曲線的頂點，設P（m，n），代入雙曲線的方程，求得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+\sqrt{3}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-3}$=$\frac{1}{3}$，由已知斜率，即可得到所求的斜率．

解答 解：雙曲線C的左右頂點分別為A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
設P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1，
即有n²=$\frac{{m}^{2}-3}{3}$，
可得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+\sqrt{3}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-3}$=$\frac{1}{3}$，
由k${\;}_{P{A}_{1}}$∈[1，2]，
即有直線PA₂的斜率的取值范圍為[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用，注意點滿足雙曲線的方程，考查直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．