Question

3．設(shè)直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$與兩坐標軸圍成的三角形面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…S₂₀₁₃的值為（　�。�

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{2011}{2012}$
• C． $\frac{2012}{2013}$
• D． $\frac{2013}{2014}$

Answer 1

分析 直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$，可得與坐標軸的交點分別為：$（\frac{\sqrt{2}}{n}，0）$，$（0，\frac{\sqrt{2}}{n+1}）$，于是直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為S_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：∵直線nx+（n+1）y=$\sqrt{2}（n∈{N^*}）$，
∴與坐標軸的交點分別為：$（\frac{\sqrt{2}}{n}，0）$，$（0，\frac{\sqrt{2}}{n+1}）$，
∴直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為S_n=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{n}×\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則S₁+S₂+S₃+…S₂₀₁₃的值=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}）$
=1-$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2013}{2014}$．
故選：D．

點評 本題考查了直線的截距式、三角形的面積計算公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．