Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0），其反函數(shù)f^-1（x）．
（1）若點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-1）在反函數(shù)f^-1（x）的圖象上，求a的值．
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象與y=x的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-1）在反函數(shù)f^-1（x）的圖象上，可得點(diǎn)Q（-1，$\sqrt{3}$）在函數(shù)f（x）的圖象上，代入可得a的值．
（2）聯(lián)立函數(shù)f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0）和y=x，根據(jù)方程組只有一個(gè)滿足條件的解，可得結(jié)論．

解答 解：（1）點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，-1）在反函數(shù)f^-1（x）的圖象上，
則點(diǎn)Q（-1，$\sqrt{3}$）在函數(shù)f（x）的圖象上，
即$\sqrt{-a+2}=\sqrt{3}$，
解得：a=-1，
證明：（2）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0）的定義域?yàn)椋?∞，$-\frac{2}{a}$]，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{ax+2}\\ y=x\end{array}\right.$得：x²-ax-2=0，
解得：x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$（舍去）
故函數(shù)f（x）的圖象與y=x的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是反函數(shù)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，熟練掌握并正確理解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，是解答的關(guān)鍵．