Question

13．現(xiàn)有4人去旅游，旅游地點(diǎn)有A，B兩個(gè)地方可以選擇，但4人都不知道去哪里玩，于是決定通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里玩，并決定擲出能被3整除的數(shù)時(shí)去A地，擲出其他的則去B地．
（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰好有1個(gè)人去B地的概率；
（Ⅱ）求這4個(gè)人中去A地的人數(shù)大于去B的人數(shù)的概率；
（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去A，B兩地的人數(shù)，記ξ=X•Y．求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)解決本題
（Ⅱ）設(shè)“這4個(gè)人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)”為事件B，則B=A₃∪A₄，列式求解．
（Ⅲ）列出ξ的所有可能取值，求出各自概率和分布列．

解答 解：（Ⅰ）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去A地旅游的概率為$\frac{1}{3}$，去B地的人數(shù)的概率為$\frac{2}{3}$，
設(shè)“這4個(gè)人恰好有i個(gè)去B地旅游”為事件B_i（i=0，1，2，3，4）
∴$P（{A}_{1}）={C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$；
（Ⅱ）設(shè)“這4個(gè)人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)”為事件B，則B=A₃∪A₄
∴$P（B）=P（{A}_{3}）+P（{A}_{4}）=\frac{1}{9}$
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，3，4
P（ξ=0）=$P（{A}_{0}）+P（{A}_{4}）=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$
P（ξ=3）=$P（{A}_{1}）+P（{A}_{3}）=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$
P（ξ=4）=P（A₂）=$\frac{24}{81}$
∴ξ的分布列是：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

Eξ=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和隨機(jī)變量的期望，屬中檔題型，高考�？碱}型．