Question

4．已知$\overrightarrow{OA}$=（2，1），$\overrightarrow{OB}$=（1，7），$\overrightarrow{OC}$=（5，1），若$\overrightarrow{OD}$=x•$\overrightarrow{OA}$，y=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$（x、y∈R）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的圖象按向量$\overrightarrow{a}$=（-2，8）平移后得到的圖象y=g（x）的解析式；
（3）過原點O作OM、ON分別交于y=g（x）的圖象于M、N兩點，直線MN交y軸于點Q（0，y₀），當(dāng)∠MON為銳角時，求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)向量平移關(guān)系即可求出y=g（x）的解析式；
（3）設(shè)M（m，5m²），N（n，5n²），根據(jù)∠MON為銳角時，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OD}$=x•$\overrightarrow{OA}$=（2x，x），∴D（2x，x），
∵$\overrightarrow{OB}$=（1，7），$\overrightarrow{OC}$=（5，1），
∴B=（1，7），C（5，1），
∴$\overrightarrow{DB}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{DC}$=（5-2x，1-x），
則y=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=（1-2x，7-x）•（5-2x，1-x）=5x²-20x+12，
即y=f（x）=5x²-20x+12；
（2）∵y=f（x）=5x²-20x+12=5（x-2）²-8，
∴y=f（x）的圖象按向量$\overrightarrow{a}$=（-2，8）平移后得到的圖象y=g（x）=5x²；
（3）設(shè)M（m，5m²），N（n，5n²），
則直線MN的方程為$\frac{y-5{n}^{2}}{5{m}^{2}-5{n}^{2}}=\frac{x-n}{m-n}$，
令x=0，則y₀=-5mn，
若∠MON為銳角，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=mn+25m²n²＞0，
∴mn$＜-\frac{1}{25}$或mn＞0
即y₀＜0或y₀＞$\frac{1}{5}$，
故y₀的取值范圍是（-∞，0）∪（$\frac{1}{5}$，+∞）．

點評 本題主要考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，以及向量平移的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．