Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12．直線l過點(diǎn)$（-2\sqrt{2}，0）$．
（Ⅰ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）求曲線C的內(nèi)接矩形的周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，將曲線C的極坐標(biāo)方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線過的點(diǎn)的坐標(biāo)可得m的值，將直線的參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立，可得t²-2t-2=0，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）寫出曲線C的參數(shù)方程，分析可得以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，
則其標(biāo)準(zhǔn)方程為 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，其左焦點(diǎn)為$（{-2\sqrt{2}，0}）$，
直線l過點(diǎn)$（-2\sqrt{2}，0）$，其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
則$m=-2\sqrt{2}$，
將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$與曲線C的方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立，
得t²-2t-2=0，
則|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2．
（Ⅱ）由曲線C的方程為 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，
可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)$P（{2\sqrt{3}cosθ，2sinθ}）$，
則以P為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形周長l=$4×（{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ}）=16sin（{θ+\frac{π}{3}}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$，
又由sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，則l≤16；
因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、直線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程，涉及橢圓與直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出橢圓、直線的普通方程．