Question

5．若函數(shù)y=x²的圖象與y=n（n＞0）的圖象所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{32}{3}$，則二項式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為96．

Answer 1

分析 利用定積分，求面積，可得n，再確定二項式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的通項，即可得出結(jié)論．

解答 解：已知y=x²的圖象與y=n（n＞0）的圖象所圍成的封閉圖形的面積為$\frac{32}{3}$，
利用定積分，面積S=2${∫}_{0}^{\sqrt{n}}$（n-x²）dx=$（nx-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{\sqrt{n}}$=$\frac{32}{3}$，得${n}^{\frac{3}{2}}$=8，
所以n=4，
所以二項式（1-$\frac{4}{x}$）⁴的通項為${T}_{r+1}={C}_{4}^{r}•（-4）^{r}•{x}^{-r}$，
令r=2可得二項式（1-$\frac{4}{x}$）⁴的展開式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為${C}_{4}^{2}•（-4）^{2}$=96，
故答案為：96．

點評 本題考查定積分在求面積中的應用及利用二項式定理求二項式系數(shù)的試題．