Question

3．如圖，△P′AB是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$+1的等邊三角形，P′C=P′D=$\sqrt{3}$-1，現(xiàn)將△P′CD沿邊CD折起至PCD將四棱錐P-ABCD，且PC⊥BD．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理以及直線和平面垂直的判定定理即可證明BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出四棱錐的高和底面積的大小，結(jié)合四棱錐的體積公式即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，
在△ABC中，BC=$\sqrt{3}+1-（\sqrt{3}-1）=2$，
則AC²=（$\sqrt{3}+1$）²+2²-2×$2（\sqrt{3}+1）×cos60°=6$，
即AC=$\sqrt{6}$，
由正弦定理得$\frac{2}{sin∠CAB}=\frac{\sqrt{6}}{sin60°}$，
即sin∠CAB=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即∠CAB=45°，
同理得∠DBA=45°，
即∠AOB=90°，
即BD⊥AC，
∵PC⊥BD，且PC∩AC=C，
故BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）取CD中點(diǎn)E，連接OE，PE，
∵PD=PC，∴CD⊥PE，
而AC=BD，AO=BO，
則OC=OD，
∴CD⊥OE，即CD⊥平面POE，
從而OP⊥CD，
由（Ⅰ）知，OP⊥BD，BD∩CD=D，
故OP⊥平面ABCD，
即棱錐P-ABCD的高為OP．
在直角三角形POC中，OP=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}-（\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
則${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}=3$，
則四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間四棱錐的體積的計(jì)算，以及空間直線和平面垂直的判斷，考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．