Question

3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥面ABCD，PD=2，PB與面ABCD所成的角的大小為30°．
（1）若E是PD的中點，求異面直線PA與BE所成角的大�。�
（2）求△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所成幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接BD，取AD的中點F，連接EF，BF．利用三角形中位線定理可得∠BEF或其補(bǔ)角是異面直線PA與BE所成角．由于側(cè)棱PD⊥面ABCD，PB與面ABCD所成的角的大小為30°．可得∠PBD=30°．可得PB，BD．AB．BF，BE，EF．在△BEF中，利用余弦定理即可得出cos∠BEF．
（2）如圖所示，作DO⊥PA，垂足為O，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得PA，OD．利用△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所成幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×πO{D}^{2}×PA$即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，連接BD，取AD的中點F，連接EF，BF．
∴EF$\underset{∥}{=}\frac{1}{2}PA$，
∴∠BEF或其補(bǔ)角是異面直線PA與BE所成角．
∵側(cè)棱PD⊥面ABCD，PB與面ABCD所成的角的大小為30°．
∴∠PBD=30°．
∵PD=2，∴PB=4，BD=2$\sqrt{3}$．
∴$2A{B}^{2}=（2\sqrt{3}）^{2}$，
解得AB=$\sqrt{6}$．
∴$BF=\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
又BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
$EF=\sqrt{D{F}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
在△BEF中，cos∠BEF=$\frac{B{E}^{2}+E{F}^{2}-B{F}^{2}}{2BE•EF}$=$\frac{13+\frac{10}{4}-\frac{30}{4}}{2×\sqrt{13}×\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{130}}{65}$．
∴∠BEF=arccos$\frac{4\sqrt{130}}{65}$．
（2）如圖所示，
作DO⊥PA，垂足為O，
∵PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
OD=$\frac{PD•AD}{PA}$=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
∴△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所成幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×πO{D}^{2}×PA$=$\frac{1}{3}×π×\frac{4×3}{5}$×$\sqrt{10}$=$\frac{4\sqrt{10}π}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理、線面角、異面直線所成的角、余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系、圓錐的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．