Question

7．若函數(shù)f（x），g（x）滿足：?x∈（0，+∞），均有f（x）＞x，g（x）＜x成立，則稱“f（x）與g（x）關(guān)于y=x分離”．已知函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）關(guān)于y=x分離，則a的取值范圍是（${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數(shù)，a＞1，故問(wèn)題等價(jià)于a^x＞x（a＞1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．

解答 解：由題意，a＞1．
故問(wèn)題等價(jià)于a^x＞x（a＞1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=a^x-x，則f′（x）=a^xlna-1，
由f′（x）=0，得x=log_a（log_ae），
x＞log_a（log_ae）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
0＜x＜log_a（log_ae），f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=log_a（log_ae）時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值，
故有${a}^{lo{g}_{a}（lo{g}_{a}e）}$-log_a（log_ae）＞0，解得a＞${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案為：（${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求出參數(shù)的范圍．