Question

設(shè)函數(shù) 

（1）證明 當，時，；

（2）討論在定義域內(nèi)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2） 時有唯一零點 ，時，有兩個零點，時有唯一零點， 時無零點.

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)造新函數(shù)后證明>0恒成立即可；（2）當時通過單調(diào)性可知零點只有一個，當時通過的最大值與0的比較即可判斷零點情況.

試題解析：(1) ,令 ，

 ，令 ，則令 ，令 ， .

令 得 .當 時 單調(diào)遞增， 時 單調(diào)遞減，

又 ， ，∴在上恒小于零.即當時 單調(diào)遞減.

又 ，∴當時，>0恒成立，即.

(2) .

1°當 時， 恒成立,即 單調(diào)遞增，此時 ， ，此時的零點在 上.

2°當 時， ， .

∴在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，∴ 為的最大值點.

令 可得 即當時有唯一零點；

當 時， ，此時有兩個零點 ， ；

當 時， ，∴在 上無零點.

綜上所述， 時有唯一零點 ，

時，有兩個零點，

時有唯一零點，

 時無零點.

考點：1.導數(shù)證明不等式；2.函數(shù)的零點；3函數(shù)的單調(diào)性和最值.