Question

6．設(shè)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$）為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值，注意對多解的取舍．
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，關(guān)鍵要在自變量大小的前提下推導(dǎo)出函數(shù)值的大�。�

解答 （1）解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1+ax}{-x-1}$）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1-ax}{x-1}$），
∴$\frac{1+ax}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-ax}$，
∴a=±1．
檢驗a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{x+1}{x-1}$）
證明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0$＜\frac{2}{{x}_{1}-1}$＜$\frac{2}{{x}_{2}-1}$，
∴0＜$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$＜$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$），
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

點評 本題是以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題，用到了函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的定義．恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想．