Question

5．已知函數f（x）=$\frac{x}{1+x}$，數列{a_n}滿足a₁=a（a為常數，且a＞0），a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄，并由此猜想出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由已知得，${a_{n+1}}=f（{a_n}）=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，可求得a₂，a₃，a₄的值，從而可猜想{a_n}的一個通項公式．
（Ⅱ）按照數學歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設當n=k時結論成立，去證明當n=k+1時，結論也成立，從而得出命題對任意的正整數n恒成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，${a_{n+1}}=f（{a_n}）=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
所以${a_2}=f（{a_1}）=\frac{a}{1+a}$，${a_3}=f（{a_2}）=\frac{{\frac{a}{1+a}}}{{1+\frac{a}{1+a}}}=\frac{a}{1+2a}$，${a_4}=f（{a_3}）=\frac{{\frac{a}{1+2a}}}{{1+\frac{a}{1+2a}}}=\frac{a}{1+3a}$，
由此猜想數列的通項公式應為${a_n}=\frac{a}{1+（n-1）a}（n∈{N^*}）$…（6分）
（Ⅱ）①當n=1時，猜想顯然成立…（7分）
②假設n=k（k∈N^*）時，猜想成立，即${a_k}=\frac{a}{1+（k-1）a}$…（8分）
則當n=k+1時，${a_{k+1}}=f（{a_k}）=\frac{a_k}{{1+{a_k}}}=\frac{{\frac{a}{1+（k-1）a}}}{{1+\frac{a}{1+（k-1）a}}}=\frac{a}{1+ka}=\frac{a}{1+[（k+1）-1]a}$，
即當n=k+1時，猜想成立．…（11分）
由①②知，${a_n}=\frac{a}{1+（n-1）a}$對一切正整數n都成立．…（12分）

點評 本題考查數學歸納法，考查推理證明的能力，假設n=k（k∈N^*）時命題成立，去證明則當n=k+1時，用上歸納假設是關鍵，屬于中檔題．