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函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3有極值的充要條件是（　　）
A、a＞1或a≤0
B、a＞1
C、0＜a＜1
D、a＞1或a＜0
分析：由f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3有極值，導(dǎo)數(shù)等于0一定有解，求出a的值，再驗(yàn)證當(dāng)a在這個(gè)范圍中時(shí)，f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3有極值，則求出的a的范圍就是f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3有極值的充要條件．
解答：解：f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ax2+2ax+1，
若函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=0有解，
即ax2+2ax+1=0有解，∴
△=(2a)2-4a＞0
a≠0
，解得a＞1或a＜0，
若a＞1或a＜0，則ax2+2ax+1=0有解，即f′（x）=0有解，∴函數(shù)f（x）有極值．
∴函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+ax2+x+3有極值的充要條件是a＜0或a＞1
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，以及充要條件的判斷，屬于綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x1、x2（x1≠x2）是函數(shù)f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）若x1=-
1
3
，x2=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值；
（Ⅲ）若-
1
3
為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)函數(shù)g(x)=f′(x)-ax-
1
3
a，當(dāng)x∈[-
1
3
，a]時(shí)求|g（x）|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2處取得極值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
13a
，且x∈（0，x1），證明：x＜g（x）＜x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

f（x）為定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，對(duì)任意x1，x2∈R，總有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立
（1）對(duì)任意n∈N*，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n+1
)+1，求Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an

（2）設(shè)F（n）=an+1+an+2+…+a2n，若
1
4
a2-
1
3
a+
12
35
≤F（n）對(duì)于一切n≥2且n∈N*恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年大連市高二六月月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d (b,c,d∈R且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)f¢(x)=3x2+4x且f(1)=7，設(shè)F(x)=f(x)-ax2

(1)當(dāng)a<2時(shí)，求F(x)的極小值；

(2)若對(duì)任意x∈[0,+∞)都有F(x)≥0成立，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下比較a2-13a+39與的大小.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2處取得極值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
1
3a
，且x∈（0，x1），證明：x＜g（x）＜x1．

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