Question

f（x）為定義在R上的函數(shù)，f（1）=1，對任意x₁，x₂∈R，總有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立
（1）對任意n∈N^*，有a_n=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n+1

)+1，求T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

（2）設F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，若

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）對于一切n≥2且n∈N^*恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用條件，結合疊加法，即可求數(shù)列的通項，再利用錯位相減法，即可求和；
（2）確定F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，單調遞增，可得F（n）_min=F（2）=

12

35

，

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）對于一切n≥2且n∈N^*恒成立，等價于

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤

12

35

，由此可確定a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴f（n）=f（n-1）+f（1）+1        
f（n-1）=f（n-2）+f（1）+1
…
f（2）=f（1）+f（1）+1
∴f（n）=nf（1）+n-1=2n-1
∴a_n=

1

f(n)

=

1

2n-1

，bn=f(

1

2n+1

)+1=

1

2n

∴T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1•

1

2

+3•

1

22

+…+(2n-1)•

1

2n

∴

1

2

T_n=1•

1

22

+3•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n+1

兩式相減，可得

1

2

T_n=1•

1

2

+2•

1

22

+…+2•

1

2n

-(2n-1)•

1

2n+1

∴T_n=3-

3+2n

2n

；
（2）∵F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，∴F（n+1）=a_n+2+a_n+2+…+a_2n+2，
∴F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)

＞0
∴F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，單調遞增，
∴F（n）_min=F（2）=

12

35

∵

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤F（n）對于一切n≥2且n∈N^*恒成立，
∴

1

4

a²-

1

3

a+

12

35

≤

12

35

∴0≤a≤

4

3

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，確定數(shù)列的通項，正確求和是關鍵．