Question

6．自雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點 F₁、F₂分別向兩條漸近線作垂線，垂足分別為A、B，連接AB，若梯形ABF₂F₁的面積為$\frac{3}{2}$，且ab=1，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點和漸近線方程，聯(lián)立直線方程，可得垂足B的坐標(biāo)，及A的坐標(biāo)，運用梯形的面積公式和離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由F₂向漸近線y=$\frac{a}$x作垂線交點為B，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{a}{bc}$，$\frac{1}{c}$），
即有A（-$\frac{a}{bc}$，$\frac{1}{c}$），
則梯形ABF₂F₁的面積為$\frac{1}{2}$（2c+$\frac{2a}{bc}$）•$\frac{1}{c}$=$\frac{3}{2}$，
即為2a=bc²，
又ab=1，即a=$\frac{1}$，
c²=a²+b²，
可得a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的求法，考查直線方程求交點，屬于中檔題．