Question

5．定義在數(shù)列{a_n}中，若滿足$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d為常數(shù)）$為“等差比數(shù)列”，已知在等差比數(shù)列中，a₁=a₂=1，a₃=3，則$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2013}}$=4×2013²-1．

Answer 1

分析 通過a₁=a₂=1、a₃=3及$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d為常數(shù)）$計算可知d=2，進而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，計算可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2n-1，從而$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=4n²-1，代入計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=a₂=1，a₃=3，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=3，
又∵數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=d（n∈{R}^{+}，d為常數(shù)）$，
∴d=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$-$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3-1=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=（2n-1）（2n+1）=4n²-1，
∴$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2013}}$=4×2013²-1，
故答案為：4×2013²-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．