Question

15．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|，x∈R，若方程f（x）=a-|x-1|恰有5個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{5}{4}$）
• B． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法得到a=x|x-2|+|x-1|，作出函數(shù)y=x|x-2|+|x-1|的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 ：由f（x）=a-|x-1|得x|x-2|=a-|x-1|，
即a=x|x-2|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x+1，}&{x＜1}\\{-{x}^{2}+3x-1，}&{1≤x≤2}\\{{x}^{2}-x-1，}&{x＞2}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)y=x|x-2|+|x-1|的圖象如圖，
則當(dāng)x=1時，y=1，
當(dāng)x=2時，y=1，
當(dāng)1≤x≤2時，y=-x²+3x-1=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$，
∴要使方程f（x）=a-|x-1|恰有5個互異的實數(shù)根，
則a=x|x-2|+|x-1|有5個不同的交點，
由圖象知1＜a＜$\frac{5}{4}$，
即實數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{5}{4}$），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．