Question

12．求證：在等差數(shù)列中，若S_m=p，S_p=m（m≠p），則S_m+p=-（m+p）

Answer 1

分析 由已知列式，把a(bǔ)₁用含有d的代數(shù)式表示，再代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，整體運(yùn)算得答案．

解答 證明：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由S_m=P，得$m{a}_{1}+\frac{m（m-1）d}{2}=p$ ①
由S_p=m，得$p{a}_{1}+\frac{p（p-1）d}{2}=m$ ②
①-②得，$（m-p）{a}_{1}+\frac{{m}^{2}d-md-{p}^{2}d+pd}{2}=p-m$，
即$（m-p）{a}_{1}+\frac{（m-p）（m+p-1）d}{2}=p-m$，
∴${a}_{1}=-\frac{（m+p-1）d}{2}-1$．
∴S_m+p=$（m+p）{a}_{1}+\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}$
=$-\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}-（m+p）+\frac{（m+p）（m+p-1）d}{2}$=-（m+p）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的整體運(yùn)算能力，是中檔題．