Question

5．$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{8}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$等于（　　）

• A． $\frac{{2}^{n}-n-1}{{2}^{n}}$
• B． $\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{{2}^{n}-n+1}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{{2}^{n+1}-n+2}{{2}^{n}}$

Answer 1

分析 通過記該數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$與$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$錯(cuò)位相減、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，記該數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列的和S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{-2-n+{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．