Question

4．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{y＜0}\\{y≥-nx-3n}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為f（n）（n∈N^*）．
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達(dá)式；
（2）記數(shù)列{f（n）}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n＞λn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（1）=3，f（2）=6．當(dāng)x=-1時(shí)，y取值為-1，-2，…，-2n，當(dāng)x=-2時(shí)，y取值為-1，-2，…，-n，即可得出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，S_n＞λn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，化為λ＜$\frac{3+3n}{2}$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（1）=3，f（2）=6．
當(dāng)x=-1時(shí)，y取值為-1，-2，-3，…，-2n，共有2n個(gè)格點(diǎn)．
當(dāng)x=-2時(shí)，y取值為-1，-2，-3，…，-n，共有n個(gè)格點(diǎn)．
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∵S_n＞λn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴$\frac{n（3+3n）}{2}$＞λn，化為λ＜$\frac{3+3n}{2}$，
∴λ＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，線性規(guī)劃問(wèn)題、不等式的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．