Question

11．已知α，β是關(guān)于x的方程4x²-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）若α≥$\frac{1}{2}$，β≥$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（3）在（2）的條件下，求出α²+β²的最值以及此時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）由判別式大于或等于零，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）令f（x）=4x²-4mx+m+2，則有$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6m}^{2}-16（m+2）≥0}\\{\frac{m}{2}≥\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）根據(jù)韋達(dá)定理可得α²+β² =（α+β）²-2αβ=m²-2•$\frac{m+2}{4}$=${（m-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{17}{16}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)α，β是關(guān)于x的方程4x²-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，
可得△=16m²-4×4（m+2）≥0，即 （m-2）（m+1）≥0，
求得 m≤-1或 m≥2．
（2）若α≥$\frac{1}{2}$，β≥$\frac{1}{2}$，令f（x）=4x²-4mx+m+2，則有$\left\{\begin{array}{l}{△=1{6m}^{2}-16（m+2）≥0}\\{\frac{m}{2}≥\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，
求得2≤m≤3．
（3）在（2）的條件下，α²+β² =（α+β）²-2αβ=m²-2•$\frac{m+2}{4}$=${（m-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{17}{16}$，
故當(dāng)m=3 時(shí)，α²+β²的取得最大值為$\frac{\sqrt{26}}{2}$，當(dāng) m=1時(shí)，α²+β²的取得最小值為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．