Question

20．設(shè)直線y=2x-4與拋物線y²=4x交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，且p=2，由焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程即可得到所求；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去y，解方程可得x，進(jìn)而得到交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，
即有2p=4，解得p=2，
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=2x-4\end{array}\right.$，消去y，得x²-5x+4=0，
解出x₁=1，x₂=4，
于是，y₁=-2，y₂=4，
所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（1，-2），
則有線段AB的長(zhǎng)：$|AB|=\sqrt{{{（4-1）}^2}+{{（4+2）}^2}}=3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．