Question

6．已知△OAB中，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{OG}$=2$\overrightarrow{GM}$，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且$\overrightarrow{PG}$=λ$\overrightarrow{GQ}$（λ∈R），設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=y$\overrightarrow$，（x∈R，y∈R）
（1）求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值．
（2）記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T，求f（x）=$\frac{T}{S}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別表示出）$\overrightarrow{OG}$=（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，通過系數(shù)相等得到方程組，解出即可；
（2）分別表示出S、T，代入f（x）=$\frac{T}{S}$，通過換元法得到新函數(shù)，通過討論其單調(diào)性求出新函數(shù)的最大值和最小值，即f（x）的最值，得到f（x）的范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OP}$+λ（$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{OQ}$=（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow$，
又∵$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，
∴（1-λ）x$\overrightarrow{a}$+λy$\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，
而$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$不共線，得$\left\{\begin{array}{l}{（1-λ）x=\frac{1}{3}}\\{λx=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}=3-3λ}\\{\frac{1}{y}=3λ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=3；
（2）f（x）=$\frac{T}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{OQ}|sin∠POQ}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|sin∠AOB}$=$\frac{|\overrightarrow{OP}|}{|\overrightarrow{OA}|}$•$\frac{|\overrightarrow{OQ}|}{|\overrightarrow{OB}|}$=xy=$\frac{{x}^{2}}{3x-1}$
由題知G點是△OAB的重心，∴$\frac{1}{2}$≤x≤1，
設(shè)3x-1=t，則f（x）=g（t）=$\frac{1}{9}$（t+$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{2}$≤t≤2，
設(shè)$\frac{1}{2}$≤t₁＜t₂≤1，g（t₁）-g（t₂）=$\frac{1}{9}$（t₁-t₂+$\frac{1}{{t}_{1}}$-$\frac{1}{{t}_{2}}$）=$\frac{1}{9}$（t₁-t₂）$\frac{{{t}_{1}t}_{2}-1}{{{t}_{1}t}_{2}}$，
∴t₁-t₂＜0，t₁t₂-1＜0，g（t₁）-g（t₂）＞0，
∴g（t）在t∈[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，
同理可證在t∈[1，2]上是增函數(shù)，
∴t=$\frac{1}{2}$或t=2時，g（t）_max=$\frac{1}{2}$，t=1時，g（t）_min=$\frac{4}{9}$，
∴f（x）=$\frac{T}{S}$的取值范圍是：[$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了平面向量的運算性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查換元思想，是一道中檔題．