Question

8．函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的最大值為（　�。�

• A． 5
• B． 3
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 先確定函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的定義域，再討論以利用基本不等式求函數(shù)的最大值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的定義域?yàn)閇1，+∞），
①當(dāng)x=1時(shí)，y=0；
②當(dāng)x＞1時(shí)，
y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$=$\frac{\sqrt{x-1}}{x-1+\sqrt{x-1}+4}$
=$\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{4}{\sqrt{x-1}}+1}$；
∵$\sqrt{x-1}$+$\frac{4}{\sqrt{x-1}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x-1}•\frac{4}{\sqrt{x-1}}}$=4，
∴$\sqrt{x-1}$+$\frac{4}{\sqrt{x-1}}$+1≥5；
故0＜$\frac{1}{\sqrt{x-1}+\frac{4}{\sqrt{x-1}}+1}$≤$\frac{1}{5}$；
故函數(shù)y=$\frac{\sqrt{x-1}}{x+3+\sqrt{x-1}}$的最大值為$\frac{1}{5}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．