Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n=2n-33，記b_n=$\frac{Sn}{n•{2}^{n}}$，則b_n取最大值時，n=33或34．

Answer 1

分析 由于a_n=2n-33，可知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n=n（n-32），可得b_n=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，當n≤32時，b_n≤0；當n≥33時，b_n＞0，作差b_n-b_n+1=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，即可判斷出取得最大值時的n的值．

解答 解：∵a_n=2n-33，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n=$\frac{n（-31+2n-33）}{2}$=n（n-32），
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n（n-32）}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，
當n≤32時，b_n≤0；
當n≥33時，b_n＞0，
此時b_n-b_n+1=$\frac{n-32}{{2}^{n}}-\frac{n-31}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，
當n=33時，b₃₃=b₃₄＞0，
當n≥34時，b_n＞b_n+1，此時數(shù)列{b_n}單調遞減．
綜上可得：只有當n=33或34時，b_n取最大值$\frac{1}{{2}^{33}}$．
故答案為：33或34．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．