Question

7．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的一條直線與它交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P和此拋物線頂點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M．求證直線MQ平行于此拋物線的對(duì)稱軸．

Answer 1

分析 設(shè)直線PQ為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入拋物線y²=2px，得到y(tǒng)²-2pky-p²=0，由韋達(dá)定理得y₁•y₂=-p²；再證明M，Q的縱坐標(biāo)相同即可．

解答 證明：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)直線PQ為x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入拋物線y²=2px得：
y²=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y²-2pky-p²=0
由韋達(dá)定理得：y₁•y₂=-p²；
直線OP的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，
x=-$\frac{p}{2}$時(shí)，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-$\frac{p}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}$=-$\frac{{p}^{2}}{{y}_{1}}$=y₂，
即有直線MQ平行于此拋物線的對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線之間的關(guān)系，利用方程聯(lián)立得到方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論是關(guān)鍵．