Question

20．已知拋物線C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=$\frac{25}{6}$，（|AF|＜|BF|），則|AF|：|BF|=2：3．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義，求得斜率k，再解二次方程可得交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到縱坐標(biāo)，再由定義可得AF，BF的長，即可得到結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1．
設(shè)直線為y=kx+1，
代入拋物線方程可得，x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+p=4k²+4=$\frac{25}{6}$，
解得k=±$\frac{1}{2\sqrt{6}}$，
即有直線為y=±$\frac{1}{2\sqrt{6}}$x+1，
由x²-$\frac{2}{\sqrt{6}}$x-4=0，可得x=$\sqrt{6}$或-$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
可得y=$\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$，
即有|AF|=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$，|BF|=$\frac{25}{6}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{15}{6}$，
即有|AF|：|BF|=2：3．
故答案為：2：3．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的定義和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，屬于中檔題．