Question

9．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2}$$\root{4}{\frac{1}{x}}$）ⁿ展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列可得n的值，再寫出通項(xiàng)，即可得出展開式中的有理項(xiàng)；

解答 解：由于T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（$\sqrt{x}$）^n-r（$\frac{1}{2}\root{4}{\frac{1}{x}}$）^r=${C}_{n}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
則展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
則有2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8（1舍去）．
則T_r+1=${C}_{8}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，
則有r=0，4，8時(shí)，為有理項(xiàng)，且為x⁴，${C}_{8}^{4}$•（$\frac{1}{2}$）4x=$\frac{35}{8}$x，$\frac{1}{256}$x^-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查組合數(shù)的計(jì)算公式，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式