Question

12．求函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由解析式有意義求得函數(shù)的定義域，求出指數(shù)上二次三項式的最小值得函數(shù)值域，利用復合函數(shù)的單調(diào)性求原函數(shù)的單調(diào)期間．

解答 解：∵對任意實數(shù)x函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$都有意義，
∴函數(shù)的定義域為R；
令t=x²-3x+2，當x=$\frac{3}{2}$時t有最小值為$-\frac{1}{4}$，
∴y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的最大值為$（\frac{1}{3}）^{-\frac{1}{4}}$=$\root{4}{3}$，
則函數(shù)的值域為（0，$\root{4}{3}$]；
函數(shù)t=x²-3x+2在（0，$\frac{3}{2}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{3}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
而外函數(shù)為減函數(shù)，
∴函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的增區(qū)間為（0，$\frac{3}{2}$），減區(qū)間為（$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其值域的求法，考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，復合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，該題是基礎(chǔ)題．