Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）證明：，都有；

（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的極值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）時(shí)，的極大值為e1，極小值為0．

【解析】

（1）令，求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，

從而求出的最大值，最大值小于0，則命題得證；

（2）由得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)整理得，則的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)等于解的個(gè)數(shù)，令，求導(dǎo)，求出，得出

，令，求導(dǎo)，借助的單調(diào)性得

出的符號(hào)，從而求出極值.

（1）證明：令，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以的最大值為，即，

所以，都有．

（2）解：由得，則，所以，

所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程解的個(gè)數(shù)，

令，則，且，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，

且由（1）知，，則當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，有且只有一個(gè)解，

所以若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，

∴，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，則，則，

同理可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．

所以時(shí)，的極大值為e1，極小值為0．