Question

17．已知二次函數f（x）=ax²+bx+a的對稱軸為x=$\frac{7}{4}$，且方程f（x）-（7x+a）=0有兩個相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[1，3]上的值域；
（3）是否存在實數m（m＞0）？使f（x）的定義域為[m，3]，值域為[1，3m]；若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的對稱軸，結合根的判別式求出a，b的值即可；
（2）先求出函數的對稱軸，得到函數的單調性，從而求出函數的最大值和最小值；
（3）通過討論m的范圍，得到關于m的方程，從而求出m的值即可．

解答 解：（1）因為二次函數f（x）=ax²+bx+a的對稱軸為x=$\frac{7}{4}$，
所以-$\frac{2a}$=$\frac{7}{4}$，
又方程f（x）=7x+a有兩個相等的實數根，
所以方程f（x）=7x+a的判別式△=（b-7）²-4a•0=0，
故b=7，a=-2，
∴f（x）=-2x²+7x-2；
（2）由（1）得：f（x）=-2${（x-\frac{7}{4}）}^{2}$+$\frac{33}{8}$，對稱軸x=$\frac{7}{4}$，
f（x）在[1，3]上的最大值是f（$\frac{7}{4}$）=-2×${（\frac{7}{4}）}^{2}$+7×$\frac{7}{4}$-2=$\frac{33}{8}$，
f（x）在[1，3]上的最小值是f（3）=-2×3²+7×3-2=1，
所以f（x）在[1，3]上的值域是[1，$\frac{33}{8}$]；
（3）由（2）知f（3）=1，
若m=$\frac{7}{4}$，則3m≠$\frac{33}{8}$，不符合，
那么m＞$\frac{7}{4}$，
則f（m）=-2m²+7m-2=3m，
解得：m=1，不符合，
故不存在實數m滿足已知條件．

點評 不同考查了二次函數的性質，考查函數的單調性、最值問題，考查分類討論，是一道中檔題．