Question

3．設(shè)n∈N^*，x_n是曲線y=x²ⁿ⁺²+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²，證明：T_n≥$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程求得切線直線并求得橫坐標(biāo)；
（2）利用放縮法縮小式子的值從而達(dá)到所需要的式子成立．

解答 解：（1）y'=（x²ⁿ⁺²+1）'=（2n+2）x²ⁿ⁺¹，曲線y=x²ⁿ⁺²+1在點(diǎn)（1，2）處的切線斜率為2n+2，
從而切線方程為y-2=（2n+2）（x-1）
令y=0，解得切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為${x}_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
（2）證明：由題設(shè)和（1）中的計(jì)算結(jié)果可知：
T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²=${（\frac{1}{2}）}^{2}{（\frac{3}{4}）}^{2}•…•{（\frac{2n-1}{2n}）}^{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，${T}_{1}=\frac{1}{4}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤_2n-1²=$（\frac{2n-1}{2n}）^{2}$=$\frac{（2n-1）^{2}}{（2n）^{2}}$＞$\frac{（2n-1）^{2}-1}{（2n）^{2}}$=$\frac{2n-2}{2n}$=$\frac{n-1}{n}$，
所以T_n$＞（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n-1}{n}=\frac{1}{4n}$；
綜上所述，可得對(duì)任意的n∈N₊，均有${T}_{n}≥\frac{1}{4n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線方程的求法和放縮法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題型．