Question

14．已知常數(shù)λ∈R，且λ≠0，數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{λ{(lán)a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*．
（1）若λ=1，求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）若λ=2，求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}為等比數(shù)列；
（3）是否存在實(shí)數(shù)λ與前n項(xiàng)和為S_n的等比數(shù)列{b_n}，使得對(duì)任意n∈N^*，a_n=$\frac{_{n}}{{S}_{n}+2}$恒成立？如果存在，求出λ與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)λ=1，對(duì)a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$兩邊取倒數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)λ=2，對(duì)a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$變形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ與前n項(xiàng)和為S_n的等比數(shù)列{b_n}滿足條件，分別令n=1、2、3，代入計(jì)算可得b₁=1、λ=$\frac{5}{3}$或λ=2，分λ=$\frac{5}{3}$、λ=2兩種情況討論即可．

解答 證明：（1）∵λ=1，
∴a_n+1=$\frac{λ{(lán)a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；
（2）∵λ=2，
∴a_n+1=$\frac{λ{(lán)a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-2=3-2=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（3）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)λ=2與通項(xiàng)為b_n=2^n-1的等比數(shù)列{b_n}滿足題意．
理由如下：
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ與前n項(xiàng)和為S_n的等比數(shù)列{b_n}滿足條件，
則當(dāng)n=1時(shí)，有：a₁=$\frac{_{1}}{_{1}+2}$，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴b₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，有：a₂=$\frac{_{2}}{_{1}+_{2}+2}$，
又∵a₂=$\frac{λ{(lán)a}_{1}}{2{a}_{1}+1}$=$\frac{\frac{1}{3}λ}{2•\frac{1}{3}+1}$=$\frac{λ}{5}$，
∴$\frac{λ}{5}$=$\frac{_{2}}{3+_{2}}$，解得b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$；
當(dāng)n=3時(shí)，有：a₃=$\frac{_{3}}{_{1}+_{2}+_{3}+2}$，
又∵a₃=$\frac{λ{(lán)a}_{2}}{2{a}_{2}+1}$=$\frac{λ•\frac{λ}{5}}{2•\frac{λ}{5}+1}$=$\frac{{λ}^{2}}{2λ+5}$，
b₃=$\frac{{_{2}}^{2}}{_{1}}$=（$\frac{3λ}{5-λ}$）²，
∴$\frac{{λ}^{2}}{2λ+5}$=$\frac{（\frac{3λ}{5-λ}）^{2}}{1+\frac{3λ}{5-λ}+（\frac{3λ}{5-λ}）^{2}+2}$，
整理得：3λ²-11λ+10=0，
解得：λ=$\frac{5}{3}$或λ=2，
下面分情況討論：
①當(dāng)λ=$\frac{5}{3}$時(shí)，b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$=$\frac{3}{2}$，
∴b_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，S_n=$\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n}}{1-\frac{3}{2}}$=-2+$\frac{1}{2}•$$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴S_n+2=$\frac{1}{2}•$$（\frac{3}{2}）^{n}$，$\frac{_{n}}{{S}_{n}+2}$=$\frac{4}{3}$，
另一方面有：a_n+1=$\frac{\frac{5}{3}{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{5{a}_{n}}{6{a}_{n}+3}$，
顯然對(duì)任意n∈N^*，a_n+1=$\frac{_{n+1}}{{S}_{n+1}+2}$不恒成立，
∴λ=$\frac{5}{3}$不滿足題意；
②當(dāng)λ=2時(shí)，b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$=2，
∴b_n=2^n-1，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴S_n+2=2ⁿ+1，$\frac{_{n}}{{S}_{n}+2}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
由（2）知此時(shí)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{_{n}}{{S}_{n}+2}$，
∴λ=2滿足題意；
綜上所述：存在實(shí)數(shù)λ=2與通項(xiàng)為b_n=2^n-1的等比數(shù)列{b_n}滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于難題．