Question

1．如圖，圓O₁與圓O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為3與2，圓O₁的弦AB交圓O₂于點(diǎn)C（O₁不在AB上），AD是圓O₁的一條直徑．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的值；
（2）若BC=$\sqrt{3}$，求O₂到弦AB的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AD交圓O₂于點(diǎn)E，連接BD，CE，推導(dǎo)出$∠ABD=∠ACE=\frac{π}{2}$，從而BD∥CE，由此能求出$\frac{AC}{AB}$的值．
（2）推導(dǎo)出AB=3$\sqrt{3}$，∠A=30°，由AO₂=2，能求出O₂到弦AB的距離．

解答 解：（1）設(shè)AD交圓O₂于點(diǎn)E，連接BD，CE，
∵圓O₁與圓O₂內(nèi)切于點(diǎn)A，∴點(diǎn)O₂在AD上．
∴AD，AE分別是，圓O₁與圓O₂的直徑．
∴$∠ABD=∠ACE=\frac{π}{2}$．∴BD∥CE．
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$．…（6分）
（2）若BC=$\sqrt{3}$，由（1）知AB=3$\sqrt{3}$，
∵AD=6，∴在Rt△ABD中，∠A=30°，又由AO₂=2，
∴O₂到弦AB的距離為1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段比值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．