Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$的值域是（-∞，-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先設(shè)y=f（x），然后將y=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$變成x²-（2y+1）x-y=0，可將該式看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而根據(jù)△≥0即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：設(shè)y=f（x），則y=$\frac{{x}^{2}-x}{2x+1}$，該式可變成x²-（2y+1）x-y=0；
上式可看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=（2y+1）²+4y≥0；
解得y$≤-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或y$≥-1+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)?（-∞，-1-\frac{\sqrt{3}}{2}]∪[-1+\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．
故答案為：（-∞，-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：將函數(shù)變成關(guān)于x的方程，由方程有解求出原函數(shù)的值域，解一元二次不等式．