Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosωx，a），$\overrightarrow{n}$=（a，2+$\sqrt{3}$sinωx），ω＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在x∈R上的最大值為3時，求a的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5個零點(diǎn)，求ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積化簡函數(shù)，通過兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過最大值求出a的值；
（2）由（1）可得y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），要在x∈（0，π]上至少有5個零點(diǎn)只需在區(qū)間（0，π]上出現(xiàn)$\frac{5}{2}$個周期即可，進(jìn)而求出ω的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5=acosωx+$\sqrt{3}$asinωx+2a-5，…（1分）
=2asin（ωx+$\frac{π}{6}$）+2a-5，…（3分）
由當(dāng)sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=1時y_max=2+2a-5=3，得a=3…（6分）
（2）∵由（1）可得：f（x）=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∴y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5個零點(diǎn)，
∴$\frac{5T}{2}$=$\frac{5}{2}×\frac{2π}{ω}$≤π，解得：ω≥5，
∴ω的最小值為5．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．