Question

4．已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁+S₂=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₂a_n+1，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁+S₂=a₃，可得1+1+q=q²，
解得q=2（負(fù)的舍去），
即有a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
即有$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故前n項(xiàng)和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．