Question

19．（1）已知x∈[-3，2]，求f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1的最小值與最大值．
（2）已知函數(shù)f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-3x+3}$在[0，2]上有最大值8，求正數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出

解答 解：（1）：f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{1}{{2}^{x}}$+1=（$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈[-3，2]，
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{2}^{x}}$≤8．則當(dāng)$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$，即x=1時(shí)，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$；
當(dāng)$\frac{1}{{2}^{x}}$=8，即x=-3時(shí)，f（x）有最大值57．
（2）：設(shè)g（x）=x²-3x+3=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，g（x）_max=3，g（x）_min=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a${\;}^{\frac{3}{4}}$=8，解得a=16，矛盾；
當(dāng)a＞1時(shí)，a³=8，解得a=2．
綜上所述，a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題