Question

17．已知函數(shù)f（x）=kx+log₂（4^x+1）（k∈R）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（a•2^x-4a），其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，利用f（-1）=f（1），求出k的值；
（Ⅱ）a＞0時，函數(shù)g（x）的定義域是（2，+∞），轉(zhuǎn)化為方程f（x）=g（x）在（2，+∞）上有且只有一解，構(gòu)造函數(shù)，討論a的取值，求出滿足條件a的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=kx+log₂（4^x+1）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1），
即-k+log₂（4^-1+1）=k+log₂（4+1），
∴-2k=log₂5-log₂$\frac{5}{4}$=2，
解得k=-1；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）=log₂（a•2^x-4a）的定義域是（2，+∞），
由題意知，-x+log₂（4^x+1）=log₂（a•2^x-4a）在（2，+∞）上有且只有一解，
即方程$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=a•2^x-4a在（2，+∞）內(nèi)只有一解；
令2^x=t，則t＞4，因而等價于關(guān)于t的方程
（a-1）t²-4at-1=0在（4，+∞）上只有一解；
設(shè)h（t）=（a-1）t²-4at-1，
當(dāng)a=1時，解得t=-$\frac{1}{4}$∉（4，+∞），不合題意；
當(dāng)0＜a＜1時，h（t）的對稱軸t=$\frac{2a}{a-1}$＜0，
故h（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，而h（0）=-1，
∴方程（a-1）t²-4at-1=0在（4，+∞）上無解；
當(dāng)a＞1時，h（t）的對稱軸t=$\frac{2a}{a-1}$＞0，
故只需h（4）＜0，
即16（a-1）-16a-1＜0，
此不等式恒成立；
綜上，a的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．