Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 na_n+1=S_n+n（n+1），可得a₂=a₁+2=4．當(dāng)n≥2時(shí)，相減可得na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），
∴a₂=a₁+2=4．
當(dāng)n≥2時(shí)，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．