Question

4．關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$），有下列命題：
①函數(shù)f（x）的最小正周期是π，其圖象的一個對稱中心是（$\frac{π}{6}$，0）；
②函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，其圖象的一條對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$；
③函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上是增函數(shù)．
其中所有正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$-x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}$=π；再結(jié)合x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)y=0，可得其圖象的一個對稱中心是（$\frac{π}{6}$，0），
故①正確．
可得函數(shù)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，其圖象的一條對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$，故②正確．
函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位后得到的函數(shù)是y=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$cos2x，故所得函數(shù)為偶函數(shù)，故③正確．
在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），故函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）沒有單調(diào)性，故④不正確，
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．