Question

17．如圖，邊長為2的菱形ABED與正三形DEC組成一等腰梯形ABCD，沿BD將△ABD所在的平面折起，使平面ABD⊥平面BDC．
（1）設(shè)F為平面ACD內(nèi)的點(diǎn)，且EF∥平面ABD確定點(diǎn)F的位置；
（2）求DE與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知BE=CE=CD，取CD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥BD，從而得到當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面ABD．
（2）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，EO，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能DE與平面ACD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵邊長為2的菱形ABED與正三形DEC組成一等腰梯形ABCD，
沿BD將△ABD所在的平面折起，使平面ABD⊥平面BDC，
∴BE=CE=CD=2，
取CD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥BD，
∵BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∴當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面ABD．
（2）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，EO，
∵AB=AD=BE=2，BD=2$\sqrt{3}$，平面ABD⊥平面BDC，
∴OA=OE=OB=OD=$\sqrt{2}$，AO⊥平面BCD，OE⊥BD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
D（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，0，$\sqrt{2}$），C（2，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0$），$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)DE與平面ACD所成角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{4}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查使得線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．