Question

9．△ABC中，tanB=1，tanC=2，b=100，則a=$60\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 tanB=1，可得：B為銳角，B=$\frac{π}{4}$．由tanC=2，可得C為銳角，由$\frac{sinC}{cosC}$=2，sin²C+cos²C=1，解得sinC，cosC．利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得出．再利用正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，即可得出．

解答 解：解法一：∵tanB=1，∴B為銳角，B=$\frac{π}{4}$．
∵tanC=2，∴C為銳角，由$\frac{sinC}{cosC}$=2，sin²C+cos²C=1，
解得sinC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosC=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{\sqrt{5}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
則a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{100×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=60$\sqrt{5}$．
或解法二：tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{1+2}{1-1×2}$=-3，可得sinA，同解法一．
故答案為：60$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．