Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n•a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，然后求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，注意分n為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式．

解答 解：∵a₁=2，a_n•a_n+1=2ⁿ，
可得a₁•a₂=2，a₂•a₃=4，a₃•a₄=8，a₄•a₅=16，a₅•a₆=32，…，
即有a₂=1，a₃=4，a₄=2，a₅=8，a₆=4，…，
可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則a_2n-1=2ⁿ；a_2n=2^n-1；
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（2+4+…+${2}^{\frac{n}{2}}$）+（1+2+…+${2}^{\frac{n}{2}-1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$+$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}$=3•${2}^{\frac{n}{2}}$-3；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n-1+a_n=3•${2}^{\frac{n-1}{2}}$-3+${2}^{\frac{n+1}{2}}$=5•${2}^{\frac{n-1}{2}}$-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，是中檔題．