Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}．
（2）設(shè)c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1時(shí)，a₁=S₁；n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n=2n²+2n，可得
n=1時(shí)，a₁=S₁=4；
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²+2n-2（n-1）²-2（n-1）=4n，對(duì)n=1也成立．
故a_n=4n；
（2）c_n=$\frac{16}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{4n•4（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n項(xiàng)和為T(mén)_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．