Question

2．已知集合M={（x，y）|y=0}，N={（x，y）|y=ax²+2bx+c，a≠0}，L={（x，y）|y=dx²+2ex+f，d≠0}，且a，b，c，d，e，f∈R，2be=ac+df．
（1）求M∩N為單元素集的條件；
（2）求證：（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

Answer 1

分析 （1）M∩N為單元素集即直線y=0與函數(shù)y=ax²+2bx+c的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得到答案；
（2）若（M∩N）∪（M∩L）=∅．則直線y=0與函數(shù)y=ax²+2bx+c和y=dx²+2ex+f的圖象均無(wú)交點(diǎn)，則4b²-4ac＜0且4e²-4df＜0，結(jié)合已知由不等式的性質(zhì)和基本不等式，得到矛盾，進(jìn)而得到（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

解答 解：（1）∵集合M={（x，y）|y=0}，N={（x，y）|y=ax²+2bx+c，a≠0}，
若M∩N為單元素集，
即直線y=0與函數(shù)y=ax²+2bx+c的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)y=ax²+2bx+c的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)$\frac{4ac-4^{2}}{4a}$=0，
即b²=ac，
證明：（2）若（M∩N）∪（M∩L）=∅．
則直線y=0與函數(shù)y=ax²+2bx+c和y=dx²+2ex+f的圖象均無(wú)交點(diǎn)，
則4b²-4ac＜0且4e²-4df＜0，
即b²＜ac且e²＜df，
則b²+e²＜ac+df=2be，
這與b²+e²≥2be矛盾．
故假設(shè)不成立，
故（M∩N）∪（M∩L）≠∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集，并集和補(bǔ)集運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)與集合的綜合應(yīng)用，難度中檔．