Question

9．對(duì)于函數(shù)f（x）=ax³+3x²+（a²+1）x+1，（a≠0，a∈R），甲、乙、丙三位同學(xué)的描述有且只有1人是錯(cuò)誤的．
甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，0）存在唯一極值點(diǎn)；
乙：對(duì)?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）+f（a-x₂）=1；
丙：函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸、y軸以及直線x=1圍成圖形的面積不小于$\frac{11}{4}$．
則符合條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-∞，\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}]∪（-1，2）∪[\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 先判斷出乙是正確的，再分別解出（2），（3）都正確的x的范圍，通過討論①（2）錯(cuò)（3）對(duì)，②（2）對(duì)（3）錯(cuò)的情況，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）（a≠0，a∈R）的值域?yàn)镽，所以乙必正確．
（2）對(duì)于甲，f′（x）=3ax²+6x+a²+1，
∴f′（-1）•f′（0）＜0，
∴f′（-1）=3a-6+a²+1＜0，
∴$a∈（\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}，\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}）$；
（3）對(duì)于丙，當(dāng)x∈[0，1]，
∵（a²+1）x≥|a|x³，∴f（x）≥0，
∴$S=\int_0^1{[a{x^3}+3{x^2}+（{a^2}+1）x+1]}dx$
=$[\frac{1}{4}a{x^4}+{x^3}+\frac{1}{2}（{a^2}+1）{x^2}+x]|_0^1=\frac{1}{4}a+1+\frac{1}{2}（{a^2}+1）+1≥\frac{11}{4}$，
所以$a≥\frac{1}{2}$或a≤-1；
若（2）正確，則（3）錯(cuò)誤，不合題意，
故（2）錯(cuò)誤，（3）正確，
故答案為：$（-∞，\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}]∪（-1，2）∪[\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查定積分的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．